3er Parcial Matemáticas II-Bloque 6-7-8

Trigonometría

Distintos caminos en el desarrollo de la trigonometría.

Como precisa Villuendas, ningún historiador se atreve a fijar los inicios del desarrollo  de la ciencia trigonométrica. La trigonometría surgió seguramente a  través de distintos hilos conductores y asociada a otras disciplinas como la aritmética, la geometría y, más tarde, el álgebra.

Uno de los caminos por los que se abrió paso la trigonometría fue el de la resolución de problemas de astronomía de la ciencia griega. En esta línea podemos citar la obra  "Sobre las medidas y distancias del Sol y la Luna" en la que su autor, Aristarco de Samos, calculaba las distancias relativas Tierra-Sol, Tierra-Luna con procedimientos   geométricos  Aristarco aproxima el seno de un ángulo expresado a partir de las razones de los lados de un triángulo rectángulo. La utilización de la geometría como base para cálculos que hoy consideramos trigonométricos es una constante en la ciencia griega.

Otro camino que contribuyó al desarrollo de la ciencia trigonométrica fue la construcción de tablas de cuerdas correspondientes a diferentes ángulos. Aquí podemos citar la obra de Hiparco de Nicea (150 aC), Menelao de Alejandría (70 dC) y sobre todo Ptolomeo (150 dC) con su obra el "Almagesto". En esta obra Ptolomeo calcula las cuerdas asociadas a ángulos centrales de 60º, 90º, 120º, 72º y 36º, a partir de diversas proposiciones de los "Elementos" de Euclides y de un teorema que aparece por primera vez en el "Almagesto" y que ahora conocemos con el nombre de teorema de Ptolomeo y que es básico para demostraciones geométricas de las fórmulas trigonométricas.

Históricamente se puede considerar que los árabes fueron quienes dieron el paso decisivo para el tratamiento sistemático de la trigonometría. Seguramente fue esta civilización quien más contribuyó al desarrollo de la ciencia trigonométrica presentándola como ciencia independiente de sus aplicaciones en astronomía. Aquí podemos citar la obra Traité du quadrilatère de Nassir al-Din al-Tusi. Este tratado está dividido en cinco libros y cada uno contiene varias proposiciones y capítulos de trigonometría plana y esférica.

Si la sistematización de la trigonometría la hicieron los árabes, en Europa quien transmitió y mejoró esta sistematización fue Regiomontanus con su obra De triangulis Omnimodis. Esta obra consta de cinco libros, dos de trigonometría plana y tres de trigonometría esférica y presenta una exposición sistemática de los métodos de resolución de triángulos cualesquiera planos y esféricos. A partir de la difusión de esta obra se sucedieron otras que profundizaron en la trigonometría conduciéndola a la situación actual.

Razones Trigonométricas 

SENO

Seno del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.

Se denota por sen B.

COSENO

Coseno del ángulo B: es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.

Se denota por cos B.

TANGENTE

Tangente del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo.

Se denota por tg B

COSECANTE

Cosecante del ángulo B: es la razón inversa del seno de B.

Se denota por cosec B.

SECANTE

Secante del ángulo B: es la razón inversa del coseno de B.

Se denota por sec B.

COTANGENTE

Cotangente del ángulo B: es la razón inversa de la tangente de B.

Se denota por cotg B.

Ejercicios:

Funciones Trigonométricas

Las gráficas de las funciones trigonométricas  poseen propiedades matemáticas muy interesantes como máximo, mínimo, asíntotas verticales, alcance y periodo entre otras. Es necesario estudiar la forma de la gráfica de cada función trigonométrica. Esta forma está asociada a las características particulares de cada función.

Gráfica de la función Seno del ángulo

El modelo de la gráfica de la función seno del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos del círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas. Recuerde que la función seno del ángulo utiliza la y de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de la función seno del ángulo comienza en 0 y termina en 2π. En la figura de abajo se observa la relación entre la circunferencia unitaria y la gráfica de la función seno del ángulo x. Esta figura muestra el desarrollo de la gráfica de la función seno del ángulo x a partir de la circunferencia unitaria.

Gráfica de la función Coseno del ángulo

El modelo de la gráfica de la función coseno del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos del círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas. Recuerde que la función coseno del ángulo utiliza lax de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de la función coseno del ángulo comienza en 0 y termina en 2π. En la figura de abajo se observa la relación entre la circunferencia unitaria y la gráfica de la función coseno del ángulo x. Esta figura muestra el desarrollo de la gráfica de la función coseno del ángulo x a partir de la circunferencia unitaria.

Gráfica de la Función Tangente del ángulo

El modelo de la gráfica de la función tangente del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos del círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas. Recuerde que la función tangente del ángulo es el cociente de la y y  la x de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de la función tangente del ángulo comienza en -π/2 y termina en π/2. En la figura de la derecha se observa la relación entre la circunferencia unitaria y la gráfica de la función tangente del ángulo x. Esta figura muestra el desarrollo de la  gráfica de la función tangente del ángulo x a partir de la circunferencia unitaria.

Gráfica de la función Cotangente del ángulo

El modelo de la gráfica de la función cotangente del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos del círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas. Recuerde que la función cotangente del ángulo es el cociente de la x y la y de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de la función cotangente del ángulo comienza en 0 y termina en π. En la figura de la derecha se observa la relación entre la circunferencia unitaria y la gráfica de la función cotangente del ángulo x. Esta figura muestra el desarrollo de la gráfica de la función cotangente del ángulo x a partir de la circunferencia unitaria.

Gráfica de la función Secante del ángulo

El modelo de la gráfica de la función secante del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos del círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas o buscando los recíprocos de la función coseno. Recuerde que la función secante del ángulo es el recíproco de la x de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de la función secante del ángulo comienza en -π/2 y termina en 3π/2. En la figura de la derecha se observa la relación entre la función coseno y la gráfica de la función secante del ángulo x. Esta figura muestra el desarrollo de la gráfica de la función secante del ángulo x a partir de la gráfica de la función coseno del ángulo.

Gráfica de la función Cosecante del ángulo 

El modelo de la gráfica de la función cosecante del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos del círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas o buscando los recíprocos de la función seno. Recuerde que la función cosecante del ángulo es el recíproco de la y de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de la función cosecante del ángulo comienza en 0 y termina en 2π. En la figura de la derecha se observa la relación entre la función seno y la gráfica de la función cosecante del ángulo x. Esta figura muestra el desarrollo de la gráfica de la función cosecante del ángulo x a partir de la gráfica de la función seno del ángulo.

Identidades Trigonométricas

Relaciones trigonométricas fundamentales

sen² α + cos² α = 1

sec² α = 1 + tg² α

cosec² α = 1 + cotg² α

Suma y diferencia de ángulos

Ángulo doble

Ángulo mitad

Transformaciones de sumas en productos

Transformaciones de productos en sumas

Ejercicios:

1.-

Sabiendo que tg α = 2, y que  180º < α <270°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

Ley de los Senos

La ley de los senos es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera, y que es útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos.

Ejercicios:

Encontrar el valor de “a” con respecto a la información de la siguiente figura. Se tiene que:

Ley de los Cosenos

Es una expresión que permite conocer un lado de un triángulo cualquiera, si conocer los otros dos y el ángulo opuesto al lado que quieres conocer. Esta relación es útil para resolver ciertos problemas de triángulos.

Ejercicios:

En el triángulo de la figura, hallar la longitud del lado rotulado con x
$$$$
Solución:
Como conocemos dos lados adyacentes y el ángulo entre ellos, podemos aplicar la ley de cosenos, así:

$c$ 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos C $x$ 2 = 10 2 + 6 2 − 2 ( 10 ) ( 6 ) cos 120° $x$ 2 = 100 + 36 − 120 − 1 2 $x$ 2 = 100 + 36 − 120 − 1 2 $x$ 2 = 100 + 36 + 60 $x$ 2 = 196 $x$ = 14

Brenda Valeriano Reyes 

Grupo 209