sábado, 31 de mayo de 2014

4TO PARCIAL-MATEMÁTICAS
Reseña histórica de la estadística y probabilidad 
La palabra estadística deriva del latín medieval Status, donde tiene el sentido de estado político.

Los comienzos de la estadística pueden ser hallados en el antiguo Egipto, cuyos faraones lograron recopilar, hacia el año 3050 antes de Cristo, prolijos datos relativos a la
población y la riqueza del país.
De acuerdo al historiador griego Heródoto, dicho registro de riqueza y población se hizo con el objetivo de preparar la construcción de las pirámides.
En el mismo Egipto, Ramsés II hizo un censo de las tierras con el objeto de
verificar un nuevo reparto.

En el antiguo Israel la Biblia da referencias, en el libro de los Números, de los datos
estadísticos obtenidos en dos recuentos de la población hebrea. El rey David por otra
parte, ordenó a Joab, general del ejército hacer un censo de Israel con la finalidad de
conocer el número de la población.

La historia de la probabilidad comienza en el siglo XVII cuando Pierre Fermat y Blaise Pascal tratan de resolver algunos problemas relacionados con los juegos de azar. Aunque algunos marcan sus inicios cuando Cardano (jugador donde los haya) escribió sobre 1520 El Libro de los Juegos de Azar (aunque no fué publicado hasta más de un siglo después, sobre 1660) no es hasta dicha fecha que comienza a elaborarse una teoría aceptable sobre los juegos.
Christian Huygens conoció la correspondencia entre Blaise Pascal y Pierre Fermat suscitada por el caballero De Méré, se planteó el debate de determinar la probabilidad de ganar una partida, y publicó (en 1657) el primer libro sobre probabilidad: De Ratiociniis in Ludo Aleae, (Calculating in Games of Chance), un tratado sobre juegos de azar.Se aceptaba como intuitivo el concepto de equiprobabilidad, se admitía que la probabilidad de conseguir un acontecimiento fuese igual al cociente entre
Durante el siglo XVIII, debido muy particularmente a la popularidad de los juegos de azar, el cálculo de probabilidades tuvo un notable desarrollo sobre la base de la anterior definición de probabilidad. Destacan en 1713 el teorema de Bernoulli y la distribución binomial, y en 1738 el primer caso particular estudiado por De Moivre, del teorema central del límite. En 1809 Gauss inició el estudio de la teoría de errores y en 1810 Laplace, que había considerado anteriormente el tema, completó el desarrollo de esta teoría. En 1812 Pierre Laplace publicó Théorie analytique des probabilités en el que expone un análisis matemático sobre los juegos de azar.
A mediados del siglo  XIX, un fraile agustino austríaco, Gregor Mendel, inició el estudio de la herencia, la genética, con sus interesantes experimentos sobre el cruce de plantas de diferentes características. Su obra, La matemática de la Herencia, fue una de las primeras aplicaciones importantes de la teoría de probabilidad a las ciencias naturales
Desde los orígenes la principal dificultad para poder considerar la probabilidad como una rama de la matemática fue la elaboración de una teoría suficientemente precisa como para que fuese aceptada como una forma de matemática. A principios del siglo XX el matemático ruso Andrei Kolmogorov la definió de forma axiomática y estableció las bases para la moderna teoría de la probabilidad que en la actualidad es parte de una teoría más amplia como es la teoría de la medida.
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
La medidas de centralización nos indican en torno a qué valor (centro) se distribuyen los datos.

Media aritmética

La media aritmética es un promedio estándar que a menudo se denomina "promedio".
\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n{x_i}
La media se confunde a veces con la mediana o moda. La media aritmética es el promedio de un conjunto de valores, o su distribución; sin embargo, para las distribuciones con sesgo, la media no es necesariamente el mismo valor que la mediana o que la moda. La media, moda y mediana son parámetros característicos de una distribución de probabilidad. Es a veces una forma de medir el sesgo de una distribución tal y como se puede hacer en las distribuciones exponencial y de Poisson.
Por ejemplo, la media aritmética de 34, 27, 45, 55, 22, 34 (seis valores) es 

\tfrac{34+27+45+55+22+34}{6}\ = \tfrac{217}{6}\approx 36,167

Mediana



En el ámbito de la estadística, la mediana representa el valor de la variable de posición central en un conjunto de datos ordenados.

 Existen dos métodos para el cálculo de la mediana:

  1. Considerando los datos en forma individual, sin agruparlos.
  2. Utilizando los datos agrupados en intervalos de clase.

Datos sin agrupar

Sean x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n los datos de una muestra ordenada en orden creciente y designando la mediana como M_e, distinguimos dos casos:

a) Si n es impar, la mediana es el valor que ocupa la posición (n+1)/2 una vez que los datos han sido ordenados (en orden creciente o decreciente), porque éste es el valor central. Es decir: M_e=x_{(n+1)/2}.
Por ejemplo, si tenemos 5 datos, que ordenados son: x_1 = 3, x_2 = 6, x_3 = 7, x_4 = 8, x_5 = 9 => El valor central es el tercero: x_{(5+1)/2} = x_3 = 7. Este valor, que es la mediana de ese conjunto de datos, deja dos datos por debajo (x_1, x_2) y otros dos por encima de él (x_4, x_5).

b) Si n es par, la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales. Cuando n es par, los dos datos que están en el centro de la muestra ocupan las posiciones n/2 y n/2+1. Es decir: M_e = (x_{\frac{n}{2}} + x_{{\frac{n}{2}}+1})/2.
Por ejemplo, si tenemos 6 datos, que ordenados son: x_1 = 3, x_2 = 6, x_3 = 7, x_4 = 8, x_5 = 9, x_6 = 10 => Hay dos valores que están por debajo del x_{\frac {6} {2}} = x_3 = 7 y otros dos que quedan por encima del siguiente dato x_{{\frac {6} {2}}+1} = x_4 = 8. Por tanto, la mediana de este grupo de datos es la media aritmética de estos dos datos: M_e = \frac {x_3 + x_4}{2} = \frac {7 + 8} {2}=7,5.

Datos agrupados

Al tratar con datos agrupados, si  {{\frac {n} {2}}}  coincide con el valor de una frecuencia acumulada, el valor de la mediana coincidirá con la abscisa correspondiente. Si no coincide con el valor de ninguna abcisa, se calcula a través de semejanza de triángulos en el histograma o polígono de frecuencias acumuladas, utilizando la siguiente equivalencia:
\frac{N_i-N_{i-1} }{a_i-a_{i-1} }=\frac{\frac{n}{2}-N_{i-1} }{p}\Rightarrow p=\frac{\frac{n}{2}-N_{i-1} }{N_i-N_{i-1} }(a_i-a_{i-1})
Donde N_{i} y N_{i-1} son las frecuencias absolutas acumuladas tales que N_{i-1} < {{\frac {n} {2}}} < N_{i}, a_{i-1} y a_{i} son los extremos, interior y exterior, del intervalo donde se alcanza la mediana y M_e=a_{i-1}+p es la abscisa a calcular, la mediana. Se observa que a_{i} - a_{i-1} es la amplitud de los intervalos seleccionados para el diagrama.

Moda



En estadística, la moda es el valor con una mayor frecuencia en una distribución de datos.

Hablaremos de una distribución bimodal de los datos adquiridos en una columna cuando encontremos dos modas, es decir, dos datos que tengan la misma frecuencia absoluta máxima. Una distribución trimodal de los datos es en la que encontramos tres modas. Si todas las variables tienen la misma frecuencia diremos que no hay moda.

El intervalo modal es el de mayor frecuencia absoluta. Cuando tratamos con datos agrupados antes de definir la moda, se ha de definir el intervalo modal.

La moda, cuando los datos están agrupados, es un punto que divide al intervalo modal en dos partes de la forma p y c-p, siendo c la amplitud del intervalo, que verifiquen que:
\frac{p}{c-p}=\frac{n_i-n_{i-1} }{n_i-n_{i+1} }
Siendo la frecuencia absoluta del intervalo modal las frecuencias absolutas de los intervalos anterior y posterior, respectivamente, al intervalo modal.
\gamma n_{i-1} \gamma n_{i+1}

Moda de datos agrupados

M = L_{i} + \left( \frac{D_1}{D_1+D_2} \right)A_{i}
Donde:
L_{i} = L-inferior de la clase modal.
D_1 = es el delta de frecuencia absoluta modal y la frecuencia absoluta premodal.
D_2 = es el delta de frecuencia absoluta modal y la frecuencia absoluta postmodal.
A_{i} = Amplitud del intervalo modal

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Las medidas de dispersión, también llamadas medidas de variabilidad, muestran la variabilidad de una distribución, indicando por medio de un número, si las diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas de la media. Cuánto mayor sea ese valor, mayor será la variabilidad, cuanto menor sea, más homogénea serpa la media, Así se sabe si todos los casos son parecidos o varían mucho entre ellos.


Rango

En estadística descriptiva se denomina rango estadístico (R) o recorrido estadístico al intervalo entre el valor máximo y el valor mínimo; por ello, comparte unidades con los datos. Permite obtener una idea de la dispersiónde los datos, cuanto mayor es el rango, más dispersos están los datos de un conjunto.
Por ejemplo, para una serie de datos de carácter cuantitativo, como lo es la estatura medida en centímetros, tendríamos:
x_1=185, x_2=165, x_3=170, x_4=182, x_5=155
es posible ordenar los datos como sigue:
x_{(1)}=155, x_{(2)}=165, x_{(3)}=170, x_{(4)}=182, x_{(5)}=185
donde la notación x(i) indica que se trata del elemento i-ésimo de la serie de datos. De este modo, el rango sería la diferencia entre el valor máximo (k) y el mínimo; o, lo que es lo mismo:
R=x_{(k)}-x_{(1)}
En nuestro ejemplo, con cinco valores, nos da que R = 185-155 = 30.

Varianza

Definida como la esperanza del cuadrado de la desviación de dicha variable respecto a su media.


Si tenemos un conjunto de datos de una misma variable, la varianza se calcula de la siguiente forma:

s_n^2 = \frac 1n \sum_{i=1}^n \left(X_i - \overline{X} \right)^ 2 = \left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_i^2\right) - \overline{X}^2

Siendo:

Aplicando este concepto a una variable aleatoria con media μ = E[X], se define su varianza, Var(X) (también representada como \scriptstyle\sigma_X^2 o, simplemente σ2), como
\operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}[ ( X - \mu ) ^ 2].\,
Desarrollando la definición anterior, se obtiene la siguiente definición alternativa (y equivalente):
\begin{align} \operatorname{Var}(X) & = \operatorname{E}[ ( X - \mu ) ^ 2 ] \\ & = \operatorname{E}[ ( X ^ 2 - 2X\mu + \mu ^ 2) ] \\ & = \operatorname{E}[ X ^ 2] - 2\mu\operatorname{E}[X] + \mu ^ 2 \\ & =\operatorname{E}[ X ^ 2] - 2\mu ^ 2 + \mu ^ 2 \\ & = \operatorname{E} [ X ^ 2] - \mu ^ 2. \end{align}
Si una distribución no tiene esperanza, como ocurre con la de Cauchy, tampoco tiene varianza. Existen otras distribuciones que, aun teniendo esperanza, carecen de varianza. Un ejemplo de ellas es la de Pareto cuando su índice k satisface 1 < k ≤ 2.

Desviación típica


Esta medida nos permite determinar el promedio aritmético de fluctuación de los datos respecto a su punto central o media. La desviación estándar nos da como resultado un valor numérico que representa el promedio de diferencia que hay entre los datos y la media. Para calcular la desviación estándar basta con hallar la raíz cuadrada de la varianza, por lo tanto su ecuación sería:
Monografias.com

PROBLEMAS DE MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DE MEDIDAS DE DISPERSIÓN:
El número de diás necesarios por 10 equipos de trabajadores para terminar 10 instalaciones de iguales características han sido: 21, 32, 15, 59, 60, 61, 64, 60, 71, y 80 días. Calcular la media, mediana, moda, varianza y desviación típica.
SOLUCIÓN:
  La media: suma de todos los valores de una variable dividida entre el número total de datos de los que se dispone:
 La mediana: es el valor que deja a la mitad de los datos por encima de dicho valor y a la otra mitad por debajo. Si ordenamos los datos de mayor a menor observamos la secuencia:
15, 21, 32, 59, 60, 60,61, 64, 71, 80.
Como quiera que en este ejemplo el número de observaciones es par (10 individuos), los dos valores que se encuentran en el medio son 60 y 60. Si realizamos el cálculo de la media de estos dos valores nos dará a su vez 60, que es el valor de la mediana.
La moda: el valor de la variable que presenta una mayor frecuencia es 60
La varianza S2: Es la media de los cuadrados de las diferencias entre cada valor de la variable y la media aritmética de la distribución.
Sx2=
 La desviación típica S: es la raíz cuadrada de la varianza.
S = √ 427,61 = 20.67
 El rango: diferencia entre el valor de las observaciones mayor y el menor
80 - 15 = 65 días
 El coeficiente de variación: cociente entre la desviación típica y el valor absoluto de la media aritmética
CV = 20,67/52,3 = 0,39

PROBABILIDAD CLÁSICA

Es el número de resultados favorables a la presentación de un evento dividido entre el número total de resultados posibles. Asignación de probabilidad "a priori", si necesidad de realizar el experimento.
La probabilidad clásica o teórica se aplica cuando cada evento simple del espacio muestral tiene la misma probabilidad de ocurrir.
Fórmula para obtener la probabilidad clásica o teórica:

Si un suceso puede ocurrir de N maneras mutuamente excluyentes e igualmente probables,  y m de ellas poseen una característica A
                           
Ejemplo 1: P(de que salgan dos caras al tirar 2 monedas)
                            
    
P(de que salga una cara al tirar 2 monedas )
                       

PROBABILIDAD CONDICIONAL 

Probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B».
No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.
Un ejemplo clásico es el lanzamiento de una moneda para luego lanzar un dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara (moneda) y luego un 6 (dado)? Pues eso se escribiría como P (Cara | 6).

Dado un espacio de probabilidad (\Omega, \mathcal F, \mathbb P) y dos eventos (o sucesos) A, B\in \mathcal F con P(B)>0, la probabilidad condicional de A dado B está definida como:
P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}.

PROBLEMAS DE PROBABILIDAD CLÁSICA Y CONDICIONAL
Una bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraen sucesivamente tres bolas. Calcular:
1. El espacio muestral.
E = {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b); (n, n,n)}
2. El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}.
A = {(b,b,b); (n, n,n)}
3. El suceso B = {extraer al menos una bola blanca}.
B= {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b)}
4. El suceso C = {extraer una sola bola negra}.
C = {(b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)}
PROBABILIDAD SIMPLE Y CONJUNTA

PROBABILIDAD SIMPLE

La posibilidad que hay de que ocurra algún evento determinado, por ejemplo, que de un recipiente con 5 pelotas verdes, 2 azules y 3 rojas obtengamos una roja es de .3, siempre debe ser un número menor o igual a uno, excepto cuando lo expresas en porcentaje.
Probabilidad simple es igual a la cantidad de formas en que un resultado específico va a suceder entre la cantidad total de posibles resultados.
Una manera, muy usada en la práctica, de denominar la probabilidad un evento simple de un espacio muestral es como probabilidad simple o marginal, la cual hace referencia a la probabilidad de un evento simple, y se denota con P(A), siendo A el evento simple en cuestión. El nombre de probabilidad marginal se debe a que esta medida se puede obtener a partir de los totales marginales de una tabla de contingencia.
cantidad de formas en que un resultado especifico va a suceder
Probabilidad=———————————————————————————————
cantidad total de posibles resultados
Ejemplo Probabilidad simple
 Hay 87 canicas en una bolsa y 68 son verdes. Si se escoge una, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea verde?Solución:
  • Divide la cantidad de formas de elegir una canica verde (68) por la cantidad total de canicas (87)
  • 68 ÷ 87 = 0.781609
  • Redondea a la precisión deseada (es decir 0.781609 redondeado a centésimos es 0.78.
PROBABILIDAD CONJUNTAEs la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos.
De la expresión P(B|A)=P(A∩B)/P(A) se pude despejar P(A∩B)=P(A)P(B|A) expresión llamada Ley de multiplicación de probabilidades.
P(A∩B) recibe el nombre de probabilidad conjunta y corresponde a la probabilidad de que se presenten resultados comunes a los eventos A y B.
Supónganse dos eventos A y B que pertenecen al espacio muestral S
ab
La probabilidad conjunta de A y B, es la probabilidad de que ocurran el evento A y el evento B de manera
simultánea.
Es decir:
P(A B) P(A| B)P(B) o bien: P(A B) P(B | A)P(A) A B
ejercicio:
  • Una urna tiene ocho bolas rojas, 5 amarilla y siete verdes. Si se extrae una bola al azar calcular la probabiliidad de:
1.Sea roja.
Solución:
p(roja)= 8/ 20 = 0.4
2. Sea verde.
Solución:
p(verde)= 7/20 = 0.35
3.Sea amarilla.
Solución:

p(amarilla)= 5/20 = 0.25
Final de semestre. 
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